Tugas Kuliah Rizka

Senin, 28 April 2014

BAB 9

ANALISIS REGRESI DAN KORELASI

Pengertian : Analisis regresi merupakan salah satu analisis yang bertujuan untuk mengetahui pengaruh suatu variabel terhadap variabel lain. Dalam analisis regresi, variabel yang mempengaruhi disebut Independent Variable (variabel bebas) dan variabel yang dipengaruhi disebut Dependent Variable (variabel terikat). Jika dalam persamaan regresi hanya terdapat satu variabel bebas dan satu variabel terikat, maka disebut sebagai persamaan regresi sederhana, sedangkan jika variabel bebasnya lebih dari satu, maka disebut sebagai persamaan regresi berganda.

Analisis Korelasi merupakan suatu analisis untuk mengetahui tingkat keeratan hubungan antara dua variabel. Tingkat hubungan tersebut dapat dibagi menjadi tiga kriteria, yaitu mempunyai hubungan positif, mempunyai hubungan negatif dan tidak mempunyai hubungan.
Analisis Regresi Sederhana : digunakan untuk mengetahui pengaruh dari variabel bebas terhadap variabel terikat atau dengan kata lain untuk mengetahui seberapa jauh perubahan variabel bebas dalam mempengaruhi variabel terikat. Dalam analisis regresi sederhana, pengaruh satu variabel bebas terhadap variabel terikat dapat dibuat persamaan sebagai berikut :

Y = a + b X.

Keterangan :

Y : Variabel terikat (Dependent Variable);

X : Variabel bebas (Independent Variable);

a : Konstanta; dan

b : Koefisien Regresi.

Untuk mencari persamaan garis regresi dapat digunakan berbagai pendekatan (rumus), sehingga nilai konstanta (a) dan nilai koefisien regresi (b) dapat dicari dengan metode sebagai berikut :
a = [(ΣY . ΣX2) – (ΣX . ΣXY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2] atau a = (ΣY/N) – b (ΣX/N)
b = [N(ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2]

Contoh :
Berdasarkan hasil pengambilan sampel secara acak tentang pengaruh lamanya belajar (X) terhadap nilai ujian (Y) adalah sebagai berikut :

(nilai ujian)	X (lama belajar)	X ²	XY
40	4	16	160
60	6	36	360
50	7	49	350
70	10	100	700
90	13	169	1.170
ΣY = 310	ΣX = 40	ΣX² = 370	ΣXY = 2.740

Dengan menggunakan rumus di atas, nilai a dan b akan diperoleh sebagai berikut :
a = [(ΣY . ΣX2) – (ΣX . ΣXY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2]
a = [(310 . 370) – (40 . 2.740)] / [(5 . 370) – 402] = 20,4

b = [N(ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2]
b = [(5 . 2.740) – (40 . 310] / [(5 . 370) – 402] = 5,4

Sehingga persamaan regresi sederhana adalah Y = 20,4 + 5,2 X
Berdasarkan hasil penghitungan dan persamaan regresi sederhana tersebut di atas, maka dapat diketahui bahwa : 1) Lamanya belajar mempunyai pengaruh positif (koefisien regresi (b) = 5,2) terhadap nilai ujian, artinya jika semakin lama dalam belajar maka akan semakin baik atau tinggi nilai ujiannya; 2) Nilai konstanta adalah sebesar 20,4, artinya jika tidak belajar atau lama belajar sama dengan nol, maka nilai ujian adalah sebesar 20,4 dengan asumsi variabel-variabel lain yang dapat mempengaruhi dianggap tetap.
Analisis Korelasi (r) : digunakan untuk mengukur tinggi redahnya derajat hubungan antar variabel yang diteliti. Tinggi rendahnya derajat keeratan tersebut dapat dilihat dari koefisien korelasinya. Koefisien korelasi yang mendekati angka + 1 berarti terjadi hubungan positif yang erat, bila mendekati angka – 1 berarti terjadi hubungan negatif yang erat. Sedangkan koefisien korelasi mendekati angka 0 (nol) berarti hubungan kedua variabel adalah lemah atau tidak erat. Dengan demikian nilai koefisien korelasi adalah – 1 ≤ r ≤ + 1. Untuk koefisien korelasi sama dengan – 1 atau + 1 berarti hubungan kedua variabel adalah sangat erat atau sangat sempurna dan hal ini sangat jarang terjadi dalam data riil. Untuk mencari nilai koefisen korelasi (r) dapat digunakan rumus sebagai berikut : r = [(N . ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / √{[(N . ΣX2) – (ΣX)2] . [(N . ΣY2) – (ΣY)2]}

Contoh :
Sampel yang diambil secara acak dari 5 mahasiswa, didapat data nilai Statistik dan Matematika sebagai berikut :

Sampel	X (statistik)	Y (matematika)	XY	X²	Y²
1	2	3	6	4	9
2	5	4	20	25	16
3	3	4	12	9	16
4	7	8	56	49	64
5	8	9	72	64	81
Jumlah	25	28	166	151	186

r = [(N . ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / √{[(N . ΣX2) – (ΣX)2] . [(N . ΣY2) – (ΣY)2]}
r = [(5 . 166) – (25 . 28) / √{[(5 . 151) – (25)2] . [(5 . 186) – (28)2]} = 0,94

Nilai koefisien korelasi sebesar 0,94 atau 94 % menggambarkan bahwa antara nilai statistik dan matematika mempunyai hubungan positif dan hubungannya erat, yaitu jika mahasiswa mempunyai nilai statistiknya baik maka nilai matematikanya juga akan baik dan sebaliknya jika nilai statistik jelek maka nilai matematikanya juga jelek.

BAB 8

Analisis Variansi

1. Pengertian dan Manfaat ANAVA

Analisis Varians (Analysis of Variance), merupakan sebuah teknik inferensial yang digunakan untuk menguji perbedaan rerata nilai. Sebagai sebuah teknik analisis varians atau yang seringkali disebut dengan anava saja mempunyai banyak keuntungan. Pertama, anava dapat digunakan untuk menentukan apakah rerata nilai dari dua atau lebih sampel berbeda secara signifikan atau. Kedua, perhitungan anava juga menghasilkan harga F yang secara signifikan menunjukkan kepada peneliti bahwa sampel yang diteliti berasal dari populasi yang berbeda, walaupun anava tidak dapat menunjukkan secara rinci yang manakah di antara rerata nilai dari sampel-sampel tersebut yan gberbeda secara signifikan satu sama lain. Uji T lah yang dapat menyempurnakan ini. Ketiga, anava juga dapat digunakan untuk menganalisis data yang dihasilkan dengan desain factorial jamak. Dalam desain factorial yang menghasilkan harga F ganda, anava dapat menyelesaikan tugas sekaligus. Dengan anava inilah peneliti dapat mengetahui antarvariabel manakah yang memang mempunyai perbedaan secara signifikan, dan varibel-variabel manakah yang berinteraksi satu sama lain.

Keuntungan lain dari anava adalah kemampuannya untuk mengetes signifikansi dari kecenderungan yang dihipotesiskan. Hasilnya disebut dengan analisis kecenderungan. Sebaagai contoh peneliti mengelompokkan siswa ke dalam empat kelompok berdasarkan tingkat kedisiplinannya seseorang akan semakin tinggi prestasi belajarnya. Untuk menguji hipotesis ini peneliti dapat menggunakan anava. Manfaat lain dari anava adalah, bahwa teknik ini dapat digunakan untuk menguji signifikansi perubahan varians dua ampel atau lebih. Dengan menggunakan teknik anava peneliti tidak perlu berkali-kali melakukan pengujian tetapi hanya cukup sekali saja. Disamping penghematan tersebut, seperti sudah dikemukakan diatas, dengan anava peneliti dapat melihat akibat dari interaksi dua faktor. Beberapa asumsi yang harus dipenuhi dalam uji anova adalah sebagai berikut :

a) Varians homogeny (sama)

b) Sampel kelompok independen

c) Data berdistribusi normal

d) Jenis data yang dihubungkan adalah : ada/tidaknya perbedaan rerata data numerik pada kelompok kategorik

Untuk uji normalitas dapat menggunakan koefisien of varians, histogram, K-S test. Sedangkan untuk menguji varians sama/tidak menggunakan Levene test. Alternative uji anova yang dapat digunakan adalah Kruskal-Wallis.

1. Harga-Harga yang Diperlukan dalam Uji Analisis Varians

Untuk dapat menggunakan teknik anava dengan baik, perlu kiranya mengenal beberapa pengertian tentang harga-harga yang terdapat di dalam rumusnya. Baik dalam anava tunggal maupun anava ganda terdapat beberapa istilah teknis yang belum terdapat di dalam teknik-teknik sebelumnya. Harga-harga yang dimaksud adalah : sumber variasi, jumlah kuadrat (disingkat JK), rerata kuadrat atau mean kuadrat (singkat MK), dan harga F.

1.1 Sumber Variasi

Pengertian “sumber variasi” digunakan sebagai judul kolom dalam table persiapan anava. Hal-hal yang terkandung di dalam di bawah judul tersebut adalah hal-hal yang dipandang menunjukkan variasi sehingga menyebabkan timbulnya perbedaan nilain yang dianalisis. Sebagai sumber variasi misalnya perbedaan yang terjadi di antara kelompok, di dalam kelompok, dan interaksi antara dua faktor atau lebih.

1.2 Jumlah Kuadrat

JK_tot = ∑X²-∑(X)²/N

Yang dimaksud dengan jumlah kuadrat adalah penjumlahan tiap-tiap deviasi nilai reratanya. Ada beberapa jenis jumlah kuadrat yang akan dijumpai dalam pekerjaan analisis varian : yakni jumlah kuadrat total, jumlah kuadrat antar kelompok, jumlah kuadrat dalam kelompok. Untuk anava ganda masih ada satu pengertian lagi yaitu kuadrat interaksi. Dengan rumus :

∑(X)²/N= faktor koreksi

JK_ant = ∑ [(∑X_k)²/n_k- (∑X)²/N ]

k = banyaknya kelompok

n_k= banyaknya subjek dalam kelompok

JK_tot = Jk_ant + Jk_dal

1.3 Pengertian Mean Kuadrat

F = MK_ant/MK_dal

Selain jumlah kuadrat, ada pengertian penting yang sangat berperan di dalam perhitungan dangan anava yakni mean kuadrat. Dengan mean kuadrat inilah harga F dapat diketahui, karena F diperoleh dari pembagian harga mean kuadrat. Mean kuadrat (rerat kuadrat) diperoleh dengan rumus :

2. Jenis-Jenis Anava

Sesuai dengan banyaknya faktor yang terlibat, maka anava dibedakan secara garis besar menjadi dua yaitu :

1) Anava tunggal atau anava satu jalan

2) Anava ganda atau anava lebih dari satu jalan.

Tugas statistika Bab 7

Pengertian, Fungsi, Ciri-ciri, Jenis-jenis, dan Pengujian Hipotesis

1. 1. Pengertian Hipotesis

Hipotesis adalah jawaban sementara terhadap suatu masalah. Jawaban tersebut masih perlu diuji kebenarannya. Seorang peneliti pasti akan mengamati sesuatu gejala, peristiwa, atau masalah yang menjadi focus perhatiannya. Sebelum mendapatkan fakta yang benar, mereka akan membuat dugaan tentang gejala, peristiwa, atau masalah yang menjadi titik perhatiannya tersebut.

2. Fungsi Hipotesis

Fungsi atau kegunaan hipotesis yang disusun dalam suatu rencana penelitian, setidaknya ada empat yaitu:

a. Hipotesis memberikan penjelasan sementara tentang gejala-gejala serta memudahkan perluasan pengetahuan dalam suatu bidang.

Untuk dapat sampai pada pengetahuan yang dapat dipercaya mengenai masalah pendidikan, peneliti harus melangkah lebih jauh dari pada sekedar mengumpukan fakta yang berserakan, untuk mencari generalisasi dan antar hubungan yang ada diantara fakta-fakta tersebut. Antar hubungan dan generalisasi ini akan memberikan gambaran pola, yang penting untuk memahami persoalan. Pola semacam ini tidaklah menjadi jelas selama pengumpulan data dilakukan tanpa arah. Hipotesis yang telah terencana dengan baik akan memberikan arah dan mengemukakan penjelasan. Karena hipotesis tersebut dapat diuji dan divalidasi (pengujian kesahiannya) melalui penyelidikan ilmiah, maka hipotesis dapat mebantu kita untuk memperluas pengetahuan.

b. Hipotesis memberikan suatu pernyataan hubungan yang langsung dapat diuji dalam penelitian.

Pertanyaan tidak dapat diuji secara langsung. Penelitian memang dimulai dengan suatu pertanyaan, akan tetapi hanya hubungan antara variabel yang akan dapat duji. Misalnya, peneliti tidak akan menguji pertanyaan apakah komentar guru terhadap pekerjaan murid menyebabkan peningkatan hasil belajar murid secara nyata“? akan tetapi peneliti menguji hipotesis yang tersirat dalam pertanyaan tersebut “komentar guru terhadap hasil pekerjaan murid, menyebabkan meningkatnya hasil belajar murid secara nyata“ atau yang lebih spesifik lagi “skor hasil belajar siswa yang menerima komentar guru atas pekerjaan mereka sebelumnya akan lebih tinggi dari pada skor siswa yang tidak menerima komentar guru atas pekerjaan mereka sebelumnya“. Selanjutnya peneliti, dapat melanjutkan penelitiannya dengan meneliti hubngan antara kedua vatiabel tersebut, yaitu komentar guru dan prestasi siswa.

c. Hipotesis memberikan arah kepada penelitian

Hipotesis merupakan tujuan khusus. Dengan demikian hipotesis juga menentukan sifat-sifat data yang diperlukan untuk menguji pernyataan tersebut. Secara sangat sederhana, hipotesis menunjukkan kepada para peneliti apa yang harus dilakukan. Fakta yang harus dipilih dan diamati adalah fakta yang adahubungann nya dengan pertanyaan tertentu. Hipotesislah yang mentukan relevansi fakta-fakta itu. Hipotesis ini dapat memberikan dasar dalam pemilihan sampel serta prosedur penelitian yang harus dipakai. Hipotesis jufga dapat menunjukkan analisis satatistik yang diperlukan dan hubungannya yang harus menunjukkan analisis statistik yang diperlukan agar ruang lingkup studi tersebut tetap terbatas, dengan mencegahnya menjadi terlalu sarat.

Sebagi contoh, lihatlah kembali hipotesis tentang, latihan pra sekolah bagi anak-anak kelas satu yang mengalami hambatan kultural. Hipotesi ini menunjukkan metode penelitian yang diperlukan serta sampel yang harus digunakan. Hipotesis inipun bahkan menuntun peneliti kepada tes statistik yang mungkin diperlukan untuk menganalisis data. Dari pernyataan hipotesis itu, jelas bahwa peneliti harus melakukan eksperimen yang membandingkan hasil eblajr dikelas satu dari sampel siswa yang mengalami hambatan kultural dan telah mengalami program pra sekolah dengan sekelompok anak serupa yang tidak mengalami progaram pra sekolah. Setiap perbedaan hasil belajar rata-rat kedua kelompok tersebut dapat dianalaisis denga tes atai teknik analis variansi, agar dapat diketahui signifikansinya menurut statistik.

d. Hipotesis memberikan kerangka untuk melaporkan kesimpulan penyelidikan.

Akan sangat memudahkan peneliti jika mengambil setiap hipotesis secara terpisah dan menyatakan kesimpulan yang relevan dengan hipotesis tersebut. Artinya, peneliti dapat menyusun bagian laporan tertulis ini diseputar jawaban-jawaban terhadap hipotesis semula, sehingga membuat penyajian ini lebih berarti dan mudah dibaca.

3. Ciri-Ciri Hipotesis yang Baik

Sebuah hipotesis atau dugaan sementara yang baik hendaknya mengandung beberapa hal.

Hal – hal tersebut diantaranya :
1) Hipotesis harus mempunyai daya penjelas
2) Hipotesis harus menyatakan hubungan yang diharapkan ada di antara variabel-variabel-variabel.
3) Hipotesis harus dapat diuji
4) Hipotesis hendaknya konsistesis dengan pengetahuan yang sudah ada.
5) Hipotesis hendaknya dinyatakan sesederhana dan seringkas mungkin.

Berikut ini beberapa penjelasan mengenai Hipotesis yang baik :
- Hipotesis harus menduga Hubungan diantara beberapa variabel
Hipotesis harus dapat menduga hubungan antara dua variabel atau lebih, disini harus dianalisis variabel-variabel yang dianggap turut mempengaruhi gejala-gejala tertentu dan kemudian diselidiki sampai dimana perubahan dalam variabel yang satu membawa perubahan pada variabel yang lain.

- Hipotesis harus Dapat Diuji
Hipotesis harus dapat di uji untuk dapat menerima atau menolaknya, hal ini dapat dilakukan dengan mengumpulkan data-data empiris.

- Hipotesis harus konsisten dengan keberadaan ilmu pengetahuan
Hipotesis tidak bertentangan dengan pengetahuan yang telah ditetapkan sebelumnya. Dalam beberapa masalah, dan terkhusus pada permulaan penelitian, ini harus berhati-hati untuk mengusulkan hipotesis yang sependapat dengan ilmu pengetahuan yang sudah siap ditetapkan sebagai dasar. Serta poin ini harus sesuai dengan yang dibutuhkan untuk memeriksa literatur dengan tepat oleh karena itu suatu hipotesis harus dirumuskan bedasar dari laporan penelitian sebelumnya.

- Hipotesis Dinyatakan Secara Sederhana
Suatu hipotesis akan dipresentasikan kedalam rumusan yang berbentuk kalimat deklaratif, hipotesis dinyatakan secara singkat dan sempurna dalam menyelesaikan apa yang dibutuhkan peneliti untuk membuktikan hipotesis tersebut.

4. Jenis-Jenis Hipotesis

a. Hipotesis Nol (Ho)

Hipotesis nol (H0) adalah hipotesis yang menyatakan tidak adanya hubungan antara variabel independen (X) dan variabel dependen (Y). Artinya, dalam rumusan hipotesis, yang diuji adalah ketidakbenaran variabel (X) mempengaruhi (Y). Ex: “tidak ada hubungan antara warna baju dengan kecerdasan mahasiswa”.

b. Hipotesis Kerja (H1)

Hipotesis Kerja (H1) adalah hipotesis yang menyatakan adanya hubungan antara variabel independen (X) dan variabel dependen (Y) yang diteliti. Hasil perhitungan H1 tersebut, akan digunakan sebagai dasar pencarian data penelitian.

5. Pengujian Hipotesis

Suatu hipotesis harus dapat diuji berdasarkan data empiris, yakni berdasarkan apa yang dapat diamati dan dapat diukur. Untuk itu peneliti harus mencari situasi empiris yang memberi data yang diperlukan. Setelah kita mengumpulkan data, selanjutnya kita harus menyimpulkan hipotesis , apakah harus menerima atau menolak hipotesis. Ada bahayanya seorang peneliti cenderung untuk menerima atau membenarkan hipotesisnya, karena ia dipengaruhi bias atau perasangka. Dengan menggunakan data kuantitatif yang diolah menurut ketentuan statistik dapat ditiadakan bias itu sedapat mungkin, jadi seorang peneliti harus jujur, jangan memanipulasi data, dan harus menjunjung tinggi penelitian sebagai usaha untuk mencari kebenaran.

Sabtu, 05 April 2014

TUGAS BAB 4 . UKURAN PENYIMPANGAN

PENGUKURAN PENYIMPANGAN

Pengukuran penyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Ukuran penyimpangan digunakan untuk mengetahui luas penyimpangan data atau homogenitas data. Dua variabel data yang memiliki mean sama belum tentu memiliki kualitas yang sama, tergantung dari besar atau kecil ukuran penyebaran datanya. Ada bebarapa macam ukuran penyebaran data, namun yang umum digunakan adalah standar deviasi.

Macam-macam ukuran penyimpangan data adalah :

Jangkauan (range)
Simpangan rata-rata (mean deviation)
Simpangan baku (standard deviation)
Varians (variance)
Koefisien variasi (Coefficient of variation)

1. Jangkauan (range)

Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukan jarak penyebaran data antara nilai terendah (Xmin) dengan nilai tertinggi (Xmax). Ukuran ini sudah digunakan pada pembahasan daftar distribusi frekuensi. Adapun rumusnya adalah

Contoh :

Berikut ini nilai ujian semester dari 3 mahasiswa
A = 60 55 70 65 50 80 40
B = 50 55 60 65 70 65 55
C = 60 60 60 60 60 60 60

Dari data diatas dapat diketahui bahwa
A = memiliki Xmax=80, Xmin= 40 , R = 40 , meanya 60
B = memiliki Xmax=70, Xmin= 50 , R = 20 , meanya 60
C = memiliki Xmax=60, Xmin= 60 , R = 0 , meanya 60

Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa :
a. Semakin kecil rangenya maka semakin homogen distribusinya
b. Semakin besar rangenya maka semakin heterogen distribusinya
c. Semakin kecil rangenya, maka meannya merupakan wakil yang representatif
d. Semakin besar rangenya maka meannya semakin kurang representatif

2. Simpangan Rata-rata (mean deviation)

Simpangan rata-rata merupakan penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah. Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata.

Data tunggal dengan seluruh skornya berfrekuensi satu

dimana xi merupakan nilai data

Data tunggal sebagian atau seluluh skornya berfrekuensi lebih dari satu

dimana xi merupakan nilai data

Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi)

dimana xi merupakan tanda kelas dari interval ke-i dan fi merupakan frekuensi interval ke-i

Contoh :

Dari tabel diperoleh

3. Simpangan Baku (standard deviation)

Standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Semua gugus data dipertimbangkan sehingga lebih stabil dibandingkan dengan ukuran lainnya. Namun, apabila dalam gugus data tersebut terdapat nilai ekstrem, standar deviasi menjadi tidak sensitif lagi, sama halnya seperti mean.

Standar Deviasi memiliki beberapa karakteristik khusus lainnya. SD tidak berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya di tambahkan atau dikurangkan dengan nilai konstan tertentu. SD berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya dikali/dibagi dengan nilai konstan tertentu. Bila dikalikan dengan nilai konstan, standar deviasi yang dihasilkan akan setara dengan hasilkali dari nilai standar deviasi aktual dengan konstan.

Rumus Simpangan Baku untuk Data Tunggal

untuk data sample menggunakan rumus

untuk data populasi menggunkan rumus

Contoh :
Selama 10 kali ulangan semester ini sobat mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88. Berapa simpangan baku dari nilai ulangan sobat?

Jawab
Soal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi.
Kita cari dulu rata-ratanya
rata-rata = (91+79+86+80+75+100+87+93+90+88)/10 = 869/10 = 85,9

Kita masukkan ke rumus

Rumus Simpangan Baku Untuk Data Kelompok

untuk sample menggunakan rumus

untuk populasi menggunakan rumus

Contoh :Diketahui data tinggi badan 50 siswa samapta kelas c adalah sebagai berikut

hitunglah berapa simpangan bakunya

1. Kita cari dulu rata-rata data kelompok tersebut

2. Setelah ketemu rata-rata dari data kelompok tersebut kita bikin tabel untuk memasukkannya ke rumus simpangan baku

4. Varians (variance)

Varians adalah salah satu ukuran dispersi atau ukuran variasi. Varians dapat menggambarkan bagaimana berpencarnya suatu data kuantitatif. Varians diberi simbol σ² (baca: sigma kuadrat) untuk populasi dan untuk s²sampel.

Selanjutnya kita akan menggunakan simbol s² untuk varians karena umumnya kita hampir selalu berkutat dengan sampel dan jarang sekali berkecimpung dengan populasi.

Rumus varian atau ragam data tunggal untuk populasi

Rumus varian atau ragam data tunggal untuk sampel

Rumus varian atau ragam data kelompok untuk populasi

Rumus varian atau ragam data kelompok untuk sampel

Keterangan:
σ² = varians atau ragam untuk populasi
S² = varians atau ragam untuk sampel
f_i = Frekuensi
x_i = Titik tengah
x¯ = Rata-rata (mean) sampel dan μ = rata-rata populasi
n = Jumlah data

5. Koefisien variasi (Coefficient of variation)

Koefisien variasi merupakan suatu ukuran variansi yang dapat digunakan untuk membandingkan suatu distribusi data yang mempunyai satuan yang berbeda. Kalau kita membandingkan berbagai variansi atau dua variabel yang mempunyai satuan yang berbeda maka tidak dapat dilakukan dengan menghitung ukuran penyebaran yang sifatnya absolut.

Koefisien variasi adalah suatu perbandingan antara simpangan baku dengan nilai rata-rata dan dinyatakan dengan persentase.

Besarnya koefisien variasi akan berpengaruh terhadap kualitas sebaran data. Jadi jika koefisien variasi semakin kecil maka datanya semakin homogen dan jika koefisien korelasi semakin besar maka datanya semakin heterogen.

Daftas Pustaka :

Suharyadi, & Purwanto. (2009). In Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern. Jakarta: Salemba Empat.

Sudjana. (1991). In Statistika. Bandung: Tarsito.

http://www.smartstat.info/statistika/statisika-deskriptif/ukuran-penyebaran-measures-of-dispersion.html

http://rumushitung.com/2013/04/05/rumus-simpangan-baku/

http://digensia.wordpress.com/2012/03/15/statistik-deskriptif/

http://okemath.com/?page_id=394

About these ads

TUGAS BAB 3 UKURAN PEMUSATAN

UKURAN PEMUSATAN : mean, modus, median

Salah satu aspek yang paling penting untuk menggambarkan distribusi data adalah nilai pusat data pengamatan (Central Tendency). Setiap pengukuran aritmatika yang ditujukan untuk menggambarkan suatu nilai yang mewakili nilai pusat atau nilai sentral dari suatu gugus data (himpunan pengamatan) dikenal sebagai ukuran pemusatan data (tendensi sentral). Terdapat tiga ukuran pemusatan data yang sering digunakan, yaitu:

Mean (Rata-rata hitung/rata-rata aritmetika)
Median
Mode

Pada artikel ini akan di bahas mengenai pengertian beberapa ukuran pemusatan data yang dilengkapi dengan contoh perhitungan, baik untuk data tunggal ataupun data yang sudah dikelompokkan dalam tabel distribusi frekuensi. Selain ukuran statistik di atas, akan dibahas juga mengenai beberapa ukuran statistik lainnya, seperti Rata-rata Ukur (Geometric Mean),Rata-rata Harmonik (H) serta beberapa karakteristik penting yang perlu dipahami untuk ukuran tendensi sentral yang baik serta bagaimana memilih atau menggunakan nilai tendensi sentral yang tepat.

(1) Mean (arithmetic mean)

Rata-rata hitung atau arithmetic mean atau sering disebut dengan istilah mean saja merupakan metode yang paling banyak digunakan untuk menggambarkan ukuran tendensi sentral. Mean dihitung dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan banyaknya data. Definisi tersebut dapat di nyatakan dengan persamaan berikut:

Sampel:

Populasi:

Keterangan:

∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan n = banyaknya sampel data N = banyaknya data populasi $Description: \bar x$ = nilai rata-rata sampel μ = nilai rata-rata populasi Meandilambangkan dengan $Description: \bar x$ (dibaca "x-bar") jika kumpulan data ini merupakan contoh (sampel) dari populasi, sedangkan jika semua data berasal dari populasi, mean dilambangkan dengan μ(huruf kecil Yunani mu).

Sampel statistik biasanya dilambangkan dengan huruf Inggris, $Description: \bar x$ , sementara parameter-parameter populasi biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani, misalnya μ

a. Rata-rata hitung (Mean) untuk data tunggal

Contoh 1:

Hitunglah nilai rata-rata dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9

Jawab:

Nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan bisa dihitung dengan menggunakan formula berikut:

$Description: \bar x=\dfrac{f_1x_1+f_2x_2+\dots .+f_nx_n}{f_1+f_2+\dots +f_n}=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}$

Keterangan: ∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan f_i = frekuensi data ke-i n = banyaknya sampel data $Description: \bar x$ = nilai rata-rata sampel

Contoh 2:

Berapa rata-rata hitung pada tabel frekuensi berikut:

x_i	f_i
70	5
69	6
45	3
80	1
56	1

Catatan: Tabel frekuensi pada tabel di atas merupakan tabel frekuensi untuk data tunggal, bukan tabel frekuensi dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu.

Jawab:

x_i	f_i	f_ix_i
70	5	350
69	6	414
45	3	135
80	1	80
56	1	56
Jumlah	16	1035

$Description: \overline{x}=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}$

$Description: \overline{x}=\dfrac{1035}{{\rm 16}}=64.6$

b. Mean dari data distribusi Frekuensi atau dari gabungan:

Distribusi Frekuensi: Rata-rata hitung dari data yang sudah disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dapat ditentukan dengan menggunakan formula yang sama dengan formula untuk menghitung nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan, yaitu: $Description: \bar x=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}$

Keterangan:

∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan f_i = frekuensi data ke-i $Description: \bar x$ = nilai rata-rata sampel

Contoh 3:

Tabel berikut ini adalah nilai ujian statistik 80 mahasiswa yang sudah disusun dalam tabel frekuensi. Berbeda dengan contoh 2, pada contoh ke-3 ini, tabel distribusi frekuensi dibuat dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu (banyak kelas = 7 dan panjang kelas = 10).

Kelas ke-	Nilai Ujian	f_i
1	31 - 40	2
2	41 - 50	3
3	51 - 60	5
4	61 - 70	13
5	71 - 80	24
6	81 - 90	21
7	91 - 100	12
	Jumlah	80

Jawab:

Buat daftar tabel berikut, tentukan nilai pewakilnya (x_i) dan hitung f_ix_i.

Kelas ke-	Nilai Ujian	f_i	x_i	f_ix_i
1	31 - 40	2	35.5	71.0
2	41 - 50	3	45.5	136.5
3	51 - 60	5	55.5	277.5
4	61 - 70	13	65.5	851.5
5	71 - 80	24	75.5	1812.0
6	81 - 90	21	85.5	1795.5
7	91 - 100	12	95.5	1146.0
	Jumlah	80		6090.0

$Description: \overline{x}=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}$

$Description: \bar {x}=\dfrac{6090}{{\rm 80}}=76.1$

Catatan: Pendekatan perhitungan nilai rata-rata hitung dengan menggunakan distribusi frekuensi kurang akurat dibandingkan dengan cara perhitungan rata-rata hitung dengan menggunakan data aktualnya. Pendekatan ini seharusnya hanya digunakan apabila tidak memungkinkan untuk menghitung nilai rata-rata hitung dari sumber data aslinya.

Rata-rata Gabungan atau rata-rata terboboti (Weighted Mean)

Rata-rata gabungan (disebut juga grand mean, pooled mean, atau rata-rata umum) adalah cara yang tepat untuk menggabungkan rata-rata hitung dari beberapa sampel.

$Description: \overline{x}=\dfrac{{\Sigma n}_ix_i}{\Sigma n_i}=\overline{x}=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}$

Contoh 4:

Tiga sub sampel masing-masing berukuran 10, 6, 8 dan rata-ratanya 145, 118, dan 162. Berapa rata-ratanya?

Jawab:

(2) Median

Median dari n pengukuran atau pengamatan x₁, x₂ ,..., x_n adalah nilai pengamatan yang terletak di tengah gugus data setelah data tersebut diurutkan. Apabila banyaknya pengamatan (n) ganjil, median terletak tepat ditengah gugus data, sedangkan bila n genap, median diperoleh dengan cara interpolasi yaitu rata-rata dari dua data yang berada di tengah gugus data. Dengan demikian, median membagi himpunan pengamatan menjadi dua bagian yang sama besar, 50% dari pengamatan terletak di bawah median dan 50% lagi terletak di atas median. Median sering dilambangkan dengan $Description: \tilde{x}$ (dibaca "x-tilde") apabila sumber datanya berasal dari sampel $Description: \tilde{\mu}$ (dibaca "μ-tilde") untuk median populasi. Median tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai aktual dari pengamatan melainkan pada posisi mereka. Prosedur untuk menentukan nilai median, pertama urutkan data terlebih dahulu, kemudian ikuti salah satu prosedur berikut ini:

Banyak data ganjil → mediannya adalah nilai yang berada tepat di tengah gugus data
Banyak data genap → mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data yang berada di tengah gugus data

a. Median data tunggal:

Untuk menentukan median dari data tunggal, terlebih dulu kita harus mengetahui letak/posisi median tersebut. Posisi median dapat ditentukan dengan menggunakan formula berikut:

$Description: Posisi Median=\dfrac{(n+1)}{2}$

dimana n = banyaknya data pengamatan.

Median apabila n ganjil:

Contoh 5:

Hitunglah median dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10

Jawab:

data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10
setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9; 10
banyaknya data (n) = 11
posisi Me = ½(11+1) = 6
jadi Median = 7 (data yang terletak pada urutan ke-6)

Nilai Ujian	2	4	5	6	6	7	7	7	8	9	10
Urutan data ke-	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
						↑

Median apabila n genap:

Contoh 6:

Hitunglah median dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9

Jawab:

data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9
setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9
banyaknya data (n) = 10
posisi Me = ½(10+1) = 5.5
Data tengahnya: 6 dan 7
jadi Median = ½ (6+7) = 6.5 (rata-rata dari 2 data yang terletak pada urutan ke-5 dan ke-6)

Nilai Ujian	2	4	5	6	6		7	7	7	8	9
Urutan data ke-	1	2	3	4	5		6	7	8	9	10
						↑

b. Median dalam distribusi frekuensi:

Formula untuk menentukan median dari tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut:

$Description: Me{\rm{ = b + p}}\left( {\dfrac{{\dfrac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{n - F}}}}{{\rm{f}}}} \right)$

b = batas bawah kelas median dari kelas selang yang mengandung unsur atau memuat nilai median

p = panjang kelas median

n = ukuran sampel/banyak data

f = frekuensi kelas median

F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari kelas median (∑f_i)

Contoh 7:

Tentukan nilai median dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!

Jawab:

Kelas ke-	Nilai Ujian	f_i	f_kum
1	31 - 40	2	2
2	41 - 50	3	5
3	51 - 60	5	10
4	61 - 70	13	23
5	71 - 80	24	47	←letak kelas median
6	81 - 90	21	68
7	91 - 100	12	80
8	Jumlah	80

Letak kelas median: Setengah dari seluruh data = 40, terletak pada kelas ke-5 (nilai ujian 71-80)
b = 70.5, p = 10
n = 80, f = 24
f = 24 (frekuensi kelas median)
F = 2 + 3 + 5 + 13 = 23

(3) Mode

Mode adalah data yang paling sering muncul/terjadi. Untuk menentukan modus, pertama susun data dalam urutan meningkat atau sebaliknya, kemudian hitung frekuensinya. Nilai yang frekuensinya paling besar (sering muncul) adalah modus. Modus digunakan baik untuk tipe data numerik atau pun data kategoris. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Beberapa kemungkinan tentang modus suatu gugus data:

Apabila pada sekumpulan data terdapat dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan bimodal.
Apabila pada sekumpulan data terdapat lebih dari dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan multimodal.
Apabila pada sekumpulan data tidak terdapat mode, maka gugus data tersebut dikatakan tidak mempunyai modus.

Meskipun suatu gugus data mungkin saja tidak memiliki modus, namun pada suatu distribusi data kontinyu, modus dapat ditentukan secara analitis.

Untuk gugus data yang distribusinya simetris, nilai mean, median dan modus semuanya sama.
Untuk distribusi miring ke kiri (negatively skewed): mean < median < modus
untuk distribusi miring ke kanan (positively skewed): terjadi hal yang sebaliknya, yaitu mean > median > modus.

Hubungan antara ketiga ukuran tendensi sentral untuk data yang tidak berdistribusi normal, namun hampir simetris dapat didekati dengan menggunakan rumus empiris berikut:

Mean - Mode = 3 (Mean - Median)

a. Modus Data Tunggal:

Contoh 8:

Berapa modus dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini:

2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9
2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9
2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9
2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Jawab:

2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9→ Nilai yang sering muncul adalah angka 7 (frekuensi terbanyak = 3), sehingga Modus (M) = 7
2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 6 dan 7 (masing-masing muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 7. Gugus data tersebut dikatakan bimodal karena mempunyai dua modus. Karena ke-2 mode tersebut nilainya berurutan, mode sering dihitung dengan menghitung nilai rata-rata keduanya, ½ (6+7) = 6.5.
2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 6 dan 8 (masing-masing muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 8. Gugus data tersebut dikatakan bimodal karena mempunyai dua modus. Nilai mode tunggal tidak dapat dihitung karena ke-2 mode tersebut tidak berurutan.
2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 5, 6 dan 7 (masing-masing muncul 2 kali), sehingga Modusnya ada tiga, yaitu 5, 6 dan 7. Gugus data tersebut dikatakan multimodal karena modusnya lebih dari dua.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → Pada gugus data tersebut, semua frekuensi data sama, masing-masing muncul satu kali, sehingga gugus data tersebut dikatakan tidak mempunyai modusnya

b. Mode dalam Distribusi Frekuensi:

$Description: Mo{\rm =b+p}\left(\dfrac{{{\rm b}}_{{\rm 1}}}{{{\rm b}}_{{\rm 1}}{\rm +}{{\rm b}}_{{\rm 2}}}\right)$

dimana:

Mo = modal = kelas yang memuat modus

b = batas bawah kelas modal

p = panjang kelas modal

b_mo = frekuensi dari kelas yang memuat modus (yang nilainya tertinggi)

b1= b_mo – b_mo-1 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas sebelumnya

b2 = b_mo – b_mo+1 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas sesudahnya

Contoh 9:

Tentukan nilai median dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!

Jawab:

Kelas ke-	Nilai Ujian	f_i
1	31 - 40	2
2	41 - 50	3
3	51 - 60	5
4	61 - 70	13
			→ b1 = (24 – 13) = 11
5	71 - 80	24	← kelas modal (frekuensinya paling besar)
			→ b2 =(24 – 21) =3
6	81 - 90	21
7	91 - 100	12
8	Jumlah	80

Kelas modul =kelas ke-5
b = 71-0.5 = 70.5
b1 = 24 -13 = 11
b2 = 24 – 21 = 3
p = 10

Selain tiga ukuran tendensi sentral di atas (mean, median, dan mode), terdapat ukuran tendensi sentral lainnya, yaitu rata-rata ukur (Geometric Mean) dan rata-rata harmonis (Harmonic Mean)

(4) Rata-rata Ukur (Geometric Mean)

Untuk gugus data positif x₁, x₂, …, x_n, rata-rata geometrik adalah akar ke-n dari hasil perkalian unsur-unsur datanya. Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:

Dimana: U = rata-rata ukur (rata-rata geometrik) n = banyaknya sampel Π = Huruf kapital π (pi) yang menyatakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur data. Rata-rata geometrik sering digunakan dalam bisnis dan ekonomi untuk menghitung rata-rata tingkat perubahan, rata-rata tingkat pertumbuhan, atau rasio rata-rata untuk data berurutan tetap atau hampir tetap atau untuk rata-rata kenaikan dalam bentuk persentase.

a. Rata-rata ukur untuk data tunggal

Contoh 10:

Berapakah rata-rata ukur dari data 2, 4, 8?

Jawab:

$Description: U=\sqrt[3]{\left(2\right)\left(4\right)(8)}=\sqrt[3]{64}=4$

atau:

$Description: Log(U) = \dfrac{{\Sigma \log ({x_i})\;}}{n}$

$Description: U = {10^{0.6021}} = 4$

b. Distribusi Frekuensi:

$Description: Log\left( U \right) = \dfrac{{\Sigma ({f_i}.\log \left( {{x_i})} \right)\;}}{{\Sigma {f_i}}}$

xi = tanda kelas (nilai tengah)

fi = frekuensi yang sesuai dengan xi

Contoh 11:

Tentukan rata-rata ukur dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!

Jawab

Kelas ke-	Nilai Ujian	fi	xi	log xi	fi.log xi
1	31 - 40	2	35.5	1.5502	3.1005
2	41 - 50	3	45.5	1.6580	4.9740
3	51 - 60	5	55.5	1.7443	8.7215
4	61 - 70	13	65.5	1.8162	23.6111
5	71 - 80	24	75.5	1.8779	45.0707
6	81 - 90	21	85.5	1.9320	40.5713
7	91 - 100	12	95.5	1.9800	23.7600
8	Jumlah	80			149.8091

(5) Rata-rata Harmonik (H)

Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data x₁, x₂, …, x_n adalah kebalikan dari nilai rata-rata hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:

$Description: H=\dfrac{n}{\sum{\left(\dfrac{1}{x_i}\right)}}$

Secara umum, rata-rata harmonic jarang digunakan. Rata-rata ini hanya digunakan untuk data yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan.

a. Rata-rata harmonic untuk data tunggal

Contoh 12:

Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi ia mengendarai kendaraan dengan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pulang pergi?

Jawab:

Apabila kita menghitungnya dengan menggunakan rumus jarak dan kecepatan, tentu hasilnya 13.5 km/jam! Apabila kita gunakan perhitungan rata-rata hitung, hasilnya tidak tepat!

$Description: \overline{x}=\dfrac{(10+20)}{2}=15\ {\rm km/jam}$

Pada kasus ini, lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik:

$Description: \overline{x}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{20}}=\dfrac{40}{3}=13.5\ {\rm km/jam}$

b. Rata-rata Harmonik untuk Distribusi Frekuensi:

$Description: H=\dfrac{\sum f_i}{\sum{\left(\dfrac{f_i}{x_i}\right)}}$

Contoh 13:

Berapa rata-rata Harmonik dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!

Jawab:

Kelas ke-	Nilai Ujian	fi	xi	fi/xi
1	31 - 40	2	35.5	0.0563
2	41 - 50	3	45.5	0.0659
3	51 - 60	5	55.5	0.0901
4	61 - 70	13	65.5	0.1985
5	71 - 80	24	75.5	0.3179
6	81 - 90	21	85.5	0.2456
7	91 - 100	12	95.5	0.1257
8	Jumlah	80		1.1000

$Description: H=\dfrac{\sum f_i}{\sum{\left(\dfrac{f_i}{x_i}\right)}}=\dfrac{80}{1.10000}=72.7283$

Perbandingan Ketiga Rata-rata (Mean):

$Description: \overline{x}=76.10;;U=74.58;;H=72.73$

$Description: H\le U\le \overline{x}=76.10$

Karakteristik penting untuk ukuran tendensi sentral yang baik

Ukuran nilai pusat/tendensi sentral (average) merupakan nilai pewakil dari suatu distribusi data, sehingga harus memiliki sifat-sifat berikut:

Harus mempertimbangkan semua gugus data
Tidak boleh terpengaruh oleh nilai-nilai ekstrim.
Harus stabil dari sampel ke sampel.
Harus mampu digunakan untuk analisis statistik lebih lanjut.

Dari beberapa ukuran nilai pusat, Mean hampir memenuhi semua persyaratan tersebut, kecuali syarat pada point kedua, rata-rata dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Sebagai contoh, jika item adalah 2; 4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 8; 9 maka mean, median dan modus semua bernilai sama, yaitu 6. Jika nilai terakhir adalah 90 bukan 9, rata-rata akan menjadi 14.10, sedangkan median dan modus tidak berubah. Meskipun dalam hal ini median dan modus lebih baik, namun tidak memenuhi persyaratan lainnya. Oleh karena itu Mean merupakan ukuran nilai pusat yang terbaik dan sering digunakan dalam analisis statistik.

Kapan kita menggunakan nilai tendensi sentral yang berbeda?

Nilai ukuran pusat yang tepat untuk digunakan tergantung pada sifat data, sifat distribusi frekuensi dan tujuan. Jika data bersifat kualitatif, hanya modus yang dapat digunakan. Sebagai contoh, apabila kita tertarik untuk mengetahui jenis tanah yang khas di suatu lokasi, atau pola tanam di suatu daerah, kita hanya dapat menggunakan modus. Di sisi lain, jika data bersifat kuantitatif, kita dapat menggunakan salah satu dari ukuran nilai pusat tersebut, mean atau median atau modus. Meskipun pada jenis data kuantitatif kita dapat menggunakan ketiga ukuran tendensi sentral, namun kita harus mempertimbangkan sifat distribusi frekuensi dari gugus data tersebut.

Bila distribusi frekuensi data tidak normal (tidak simetris), median atau modusmerupakan ukuran pusat yang tepat.
Apabila terdapat nilai-nilai ekstrim, baik kecil atau besar, lebih tepat menggunakan median atau modus.
Apabila distribusi data normal (simetris), semua ukuran nilai pusat, baik mean, median, atau modus dapat digunakan. Namun, mean lebih sering digunakandibanding yang lainnya karena lebih memenuhi persyaratan untuk ukuran pusat yang baik.
Ketika kita berhadapan dengan laju, kecepatan dan harga lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik.
Jika kita tertarik pada perubahan relatif, seperti dalam kasus pertumbuhan bakteri, pembelahan sel dan sebagainya, rata-rata geometrik adalah rata-rata yang paling tepat.

Referensi:

Mario Triola. 2004. Elementary Statistics. 9^th Edition. Pearson Education.
Stephen Bernstein and Ruth Bernstein. 1999. Elements of Statistics I: Descriptive Statistics and Probability. The McGraw-Hill Companies, Inc